Cuestiones sobre la posible transición del comportamiento físico de una cuerda vibrante hacia una membrana vibrante.

Primeramente quiero iniciar disculpándome por semejante título, y anunciando que su abreviatura será (CV-MV), ya que se necesitaría un autobús para ubicar la cantidad de siglas presentes. Por otra parte, como siempre debe haber algo que tenga la responsabilidad, la culpa recae sobre lo conversado en: “Cuestiones de frecuencias en la relación música-cerebro” (CFRMC), donde se inquiere en la base de un variación “…similar a la del tipo cuerda vibrante hacia membrana vibrante…” en una hipotética transición de sonidos que podría afectar las ondas cerebrales.

Antes de intentar aproximarnos a lo anterior, quisiera hacer una breve revisión de la componente física de la audición. Como se indicó en CPSA (Cuestiones preliminares sobre armónicos), la percepción del sonido se efectúa a través de la membrana timpánica, luego de su viaje por el medio gaseoso (generalmente aire contaminado), gracias al enrarecimiento de las moléculas. Además, “Cuando una onda de sonido llega al oído humano, éste convierte los cambios de presión de la onda en impulsos nerviosos, los cuales son registrados e interpretados por el cerebro como que algo se escucha” (Gettys y otros, 2005); lo cual, también fue referido en CFRMC. Tanto en éste, como en CPSA, igualmente se precisó sobre la presencia de parciales del sonido producto de la longitud finita y los extremos fijos de la cuerda, que se amplifican debido al material de la cuerda, el medio en el cual se propaga la onda, etc., y que tendrían como resultado una propiedad que generalmente conocemos como timbre, la cual, está más relacionada con la forma de la onda que con su frecuencia (Gettys, ob cit.). A manera de resumen del cuento, si suena la cuerda “La” de un violín y la cuerda “La”  de una guitarra, el cerebro (con su mecanismo complejo de escuchar) sabrá que es “la misma nota” (ya que sus frecuencias son iguales) y sabrá que no proceden del mismo instrumento (ya que no poseen el mismo timbre), aunque no vea a los emisores del sonido. Pero, ¿el cerebro siempre percibe una nota?

Para tratar de responder a esto, debemos adentrarnos (al fin) en lo que sería una cuerda vibrante o en lo que significaría ser una membrana vibrante. En el ejemplo del violín o la guitarra, la referida cuerda “La” sería pues, una cuerda vibrante. Como se ha mencionado en repetidas ocasiones, esta cuerda emite un sonido con un grupo de sonidos parciales que, para su análisis físico, bastaría con lo que conocemos como Análisis de Fourier, según nos indican nuevamente Gettys y sus amigos, cuando afirman que “… Fourier (1.768-1.830) demostró que las ondas periódicas con formas complicadas se pueden considerar como la suma de ondas armónicas" (ob cit.). El trabajo de Fourier ha repercutido en diversas áreas de la física matemática, con implicaciones en teorías contemporáneas de gran importancia. Sobre el Análisis de Fourier, Penrose (2007) lo describe como “una de las formas más efectivas de estudiar formas de onda…”. Podríamos conversar muchas cuestiones sobre este genio; sin embargo, debemos volver a la cuestión que tratamos de dilucidar. Este análisis, resuelve la complejidad de los parciales del sonido emitidos (los armónicos explicados por Goldman y referidos en CPSA), llegando a una elegante solución matemática. No quisiéramos empastelarnos con objetos matemáticos complicados, pero se hace necesario adentrarnos un poco mas (en el pastel de Fourier) para vincularnos con el timbre (y la cualidad de los armónicos). Ledder (2006) confiere la vinculación a la que hacemos referencia, a los trabajos de Hermann Helmholtz en la década de los 1.860, diciendo que este “… pudo demostrar que la calidad percibida del sonido depende de la relación de frecuencias del modo de vibración y las magnitudes relativas de los coeficientes de Fourier”. Volviendo al ejemplo, el “La” de la guitarra o del violín es la nota fundamental, y sus parciales (armónicos) son los modos de vibración que refiere Helmholtz, los cuales tienen frecuencias que son múltiplos enteros de la fundamental, como indicó Goldman (2006). Cada una de estas parciales, tienen su propio tono y ejercen contribuciones al sonido general, definiendo así el timbre. “Estas contribuciones se pueden representar como líneas verticales… …en la recta numérica” Ledder (ob cit.), como el siguiente ejemplo:

Figura 1. Representación como rectas verticales en la recta numérica, de las contribuciones de las notas parciales (armónicos o modos de vibración). La calidad del sonido o timbre, depende de la agrupación de las frecuencias de estos parciales. La potencia de la contribución de cada nota la determina el Coeficiente de Fourier. El gráfico se obtiene dividiendo cada longitud entra la longitud total. Tomado de: Ledder (2006).

En aras de cortar el pastel (o sea, para resumir), el cerebro procesa una nota como principal y al cuerpo de parciales como su timbre, dependiendo de las contribuciones de los armónicos. A pesar de esta complejidad, siempre percibimos claramente una nota principal en la emisión de sonido por una cuerda vibrante.

Veamos ahora si existe alguna manera de aproximación a la percepción de la nota y el timbre (si es posible) en una membrana vibrante. Contrario al ejemplo de la guitarra o el violín, una membrana dista mucho de parecerse a una cuerda “La”. La membrana vibrante es la que escuchamos al tocar un instrumento de percusión (membranófono) como un tambor, conga o timbal. A simple oído, ya es conocido que el cerebro no va a procesar una nota fundamental, bastaría con escuchar un golpe de tambor para darse cuenta. Podemos acotar que, en el caso de los membranófonos “Los modos de vibración más altos no ocurren a frecuencias relacionadas estrechamente con el fundamental, de manera que los sonidos producidos por los diversos modos de vibración tienen conflicto unos con otros” (Ledder, ob cit.), un comportamiento que no ocurre en el caso de los instrumentos de cuerda. Dicho de otro modo, la suma geométrica que observamos (y escuchamos) en la cuerda vibrante no ocurre en la membrana, por eso, no hay nota fundamental discernible, lo cual responde a una pregunta que estaba en el aire: el cerebro no siempre percibe (o reconoce) una nota.

Tenemos pues, al fin, una pequeña pregunta atendida; sin embargo, aun falta una mayor, la que nos motivó a esta reunión: ¿es viable la hipotética transición de sonido de cuerda vibrante a membrana vibrante sugerida en CFRMC? Como se dijo, ¡Vaya Cuestión!

Con las herramientas que tenemos a la mano, debemos responder en forma negativa. Primeramente, basados en el hecho que la cuerda vibrante genera formas constructivas como la vista mediante el análisis de Fourier (Figura 1.); mientras que, las ondas de la membrana son destructivas entre ellas. Estas se rigen por una forma diferencial llamada ecuación paramétrica de Bessel. En la figura 2, podemos apreciar una gráfica ejemplar, también cortesía de Ledder, en la que se observa el desfase de la función que produciría la sustracción de la forma.

Figura 2. Ejemplo de la gráfica de una Ecuación Paramétrica de Bessel. El desfase de la función generaría conflictos entre las ondas. Cortesía de: Ledder (2006).

En segunda instancia y hablando en términos geométricos, se nos presenta una naturaleza irreconciliable entre las característica longitudinal (1-dimensional) de la cuerda y la superficial (2-dimensional) de la membrana (y aquí parece que radica el meollo del asunto). En un vocabulario infinitesimal (volviendo al pastel), la ecuación de Fourier trabaja con el elemento diferencial de longitud, que podríamos llamar dx. Al analizar la membrana (superficie) nos encontramos con una ecuación diferencial parcial que trabaja con un elemento diferencial  ²x (o ²_xx) llamado Laplaciano (que es un operador 2-dimensional con muchas aplicaciones en la actualidad, llamado así en honor a Pierre-Simon Laplace (1.749-1.827); ver: https://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano). Como que nos fuimos muy lejos en el pastel.

Realmente a lo que vamos en los últimos párrafos, es que no parece haber manera alguna de que el producto de una cuerda vibrante se transforme en el producto de una membrana vibrante; por lo tanto, la hipotética transición quedaría fuera de lugar. Esto conlleva a que sea absurdo comparar con el caso de variación de ondas cerebrales sugerido en CFRMC. Este escrito ha servido para dejar atrás algunas cuestiones; sin embargo, no podemos cerrar sin dejar algo pendiente: el sonido que percibimos se adquiere a través de la membrana vibrante timpánica y se transforma (o trasduce) en un impulso eléctrico… ¿Cómo es eso?¿Ese timbre implica una afectación de las ondas cerebrales? Bueno, qué cuestiones!

Engel Salazar Aguirre

1 de septiembre de 2016.

Referencias:

Gettys, E.; Keller, F.; Skove, M. (2005). Física para ingeniería y ciencias. Tomo II. Ciudad de México: McGraw-Hill Interamericana.

Penrose, Roger (2007). Por el camino a la realidad (The road to reality). Barcelona: Debate.

Ledder, Glenn (2006). Ecuaciones Diferenciales, un enfoque de modelado. Ciudad de México: McGraw-Hill Interamericana.

Goldman, Jonathan (1996). Sonidos que sanan. Barcelona: Luciérnaga.

Wikipedia. Ver: https://es.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaciano